تقسیم اعداد اعشاری - آموزش با مثال

 

 

تماس با ما

آدرس موسسه
تهران، بلوار مرزداران بین اشرفی اصفهانی و یادگار امام جنب شیرینی فروشی ماه بانو پلاک ۱۸۵ طبقه ۲ واحد ۵ 
شماره تماس
021-44282417
 

شماره فکس

021-44282418
 
پست الکترونیک
mail@uniticedu.com

 

ما را در شبکه های اجتماعی دنبال نمائید

تقسیم اعداد اعشاری - ریاضی پایه ششم 

همانطور که می‌دانید، چهار عمل اصلی روی اعداد به صورت «جمع»، «تفریق»، «ضرب» و «تقسیم» در نظر گرفته می‌شود و همگی آن‌ها عملگرهایی با دو پارامتر دارند. وقتی می‌خواهیم یک عدد را به بخش‌های مساوی تقسیم کنیم، عمل ریاضی مناسب، همان عملگر تقسیم است. به کمک تقسیم می‌توانیم مقداری را برحسب مقداری دیگر، به طور مساوی پخش کنیم. البته می‌دانید که عمل عکس تقسیم، به صورت ضرب شناخته می‌شود. در این نوشتار از مجله فرادرس در مورد تقسیم اعداد اعشاری که نوع خاصی از اعداد هستند صحبت خواهیم کرد.

قبل از خواندن این متن و شروع به اجرای تقسیم اعداد اعشاری در ریاضی، پیشنهاد می‌شود، به منظور آشنایی بیشتر با مجموعه اعداد صحیح و اعشاری، مطالب اعداد صحیح چیست و چه اعدادی هستند ؟ — به زبان ساده و اعداد اعشاری — به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن ضرب متقاطع یا طرفین و وسطین — به زبان ساده و اعداد گویا — به زبان ساده نیز خالی از فایده نیست.

تقسیم اعداد اعشاری

به یاد دارید که در تقسیم، عددی که قرار است به بخش‌های مساوی تقسیم شود را مقسوم می‌نامیم. همچنین مقدار بخش‌ها برای تقسیم نیز مقسوم علیه نامیده شده و تعداد بخش‌ها حاصل از تقسیم نیز خارج قسمت گفته می‌شود. اگر در انجام عمل تقسیم، مقداری باقی نمانده باشد و همه تقسیم‌ها کامل باشند، تقسیم بدون باقی‌مانده بوده به اصطلاح می‌گوییم باقی‌مانده تقسیم، صفر است و مقسوم به مقسوم علیه بخش‌پذیر است. ولی اگر بعد از محاسبه خارج قسمت، مقداری از عملیات تقسیم باقی مانده باشد، تقسیم به همراه باقی‌مانده نمایش داده می‌شود.




برای تقسیم اعداد اعشاری چند شیوه یا روش وجود دارد که در متن به آن‌ها اشاره خواهیم کرد. ابتدا حالت‌هایی را در نظر می‌گیریم که مقسوم یا مقسوم علیه، عدد طبیعی (صحیح) باشند. سپس با کمک نمایش اعشاری به صورت کسر، تقسیم را اجرا کرده و در انتها نیز عملیات تقسیم برای اعداد اعشاری را مرور می‌کنیم.

تقسیم اعداد اعشاری بر عدد صحیح

در تصویر بالا، بخش‌های یک تقسیم را بازگو کردیم. حال به وضعیتی در تقسیم می‌پردازیم که در آن، مقسوم یک عدد صحیح بوده و مقسوم علیه، یک عدد اعشاری است. برای این گونه تقسیم ابتدا از یک تکنیک تصویری کمک می‌گیریم، سپس محاسبه ریاضی را معرفی می‌کنیم.

مثال 1: خارج قسمت تقسیم ۰٫۰۹ بر ۳ چقدر است؟

راه حل: برای نمایش مقدار ۰٫۰۹ باید یک شکل را به ۱۰۰ بخش مساوی تقسیم کرده باشیم. برای مثال مربعی که در تصویر زیر دیده می‌شود، به ۱۰۰ بخش تقسیم شده و ۹ قسمت از آن به رنگ آبی درآمده تا نمایانگر ۰٫۰۹ باشد.

مشخص است که برای اجرای این تقسیم باید مساحت بخش آبی رنگ را به سه بخش یا قسمت، تفکیک کنیم. از آنجایی که ۹ خانه رنگی داریم، تقسیم آن‌ها به سه بخش مساوی، باعث ایجاد قسمت‌هایی خواهد شد که هر کدام سه خانه دارند. فقط توجه داشته باشید که هر یک از این خانه‌ها، نشانگر یک بخش از ۱۰۰ بخش هستند. بنابراین سه تا از این بخش‌ها، برابر با عدد ۰٫۰۳ خواهند بود. به این ترتیب نتیجه را به صورت زیر می‌نویسیم.

۰٫۰۹ ÷ ۳ = ۰٫۰۳

همین محاسبات را به شکل دیگری نیز می‌توان انجام داد. به این ترتیب درست به مانند روال معمول برای تقسیم اعداد صحیح عمل کرده و هر جایی در مقسوم، به علامت اعشار یا ممیز رسیدیم، در خارج قسمت هم ممیز خواهیم گذاشت. در مثال بعدی از این شیوه کمک گرفته‌ایم.

مثال ۲: می‌خواهیم عدد ۱۲٫۳۴ را بر ۲ تقسیم کنیم.

راه حل: همانطور که می‌بینید، مقسوم (۱۲٫۳۴) یک عدد اعشاری، و مقسوم علیه (۲) عدد صحیح است. مراحل را به مانند یک تقسیم معمولی انجام می‌دهیم.

  • گام اول: از محل علامت ممیز مقسوم، یک خط عمودی تا انتهای عملیات تقسیم رسم می‌کنیم. این خط به ما یادآوری می‌کند که چه بخشی از محاسبات روی عدد اعشاری و چه بخشی روی اعداد صحیح انجام شده است. تقسیم بخش عدد صحیح از مقسوم بر مقسوم علیه را به شیوه معمول اجرا می‌کنیم. از آنجایی که تقسیم ۱۲ بر ۲، برابر است با ۶، در خارج قسمت، ۶ قرار داده و باقی‌مانده را محاسبه می‌کنیم. 
  • گام دوم: از آنجایی که باقی‌مانده صفر شده یا بر ۲ بخش‌پذیر نیست (از ۲ کوچکتر است)، یک رقم دیگر از مقسوم را به پایین آورده و عمل تقسیم را بعد از ممیز آغاز می‌کنیم.
  • گام سوم: از آنجایی که در گام قبلی رقم ۳ بعد از ممیز قرار گرفته، در خارج قسمت نیز ممیز قرار داده و عمل تقسیم را ادامه می‌دهیم.
  • گام چهارم: باز هم باقی‌مانده از مقسوم علیه کوچکتر شده و باید یک رقم از مقسوم اضافه کنیم. با اضافه کردن ۴ گام نهایی برداشته می‌شود.
  • گام پنجم: خارج قسمت تقسیم ۱۴ بر ۲ عدد ۷ خواهد بود. بنابراین ۷ را در ادامه رقم‌های مقسوم قرار می‌دهیم. باقی مانده تقسیم در اینجا برابر با صفر شده و هیچ رقمی از مقسوم باقی نمانده است. پس مراحل تقسیم تمام می‌شود. حاصل تقسیم ۱۲٫۳۴ بر ۲، مساوی با ۶٫۱۷ خواهد بود.

مثال ۳: حاصل تقسیم ۲۴٫۶ را بر ۱۲ مشخص کنید.

راه حل: شاید استفاده از تقسیم تفکیکی برای حل این مسئله تقسیم اعداد اعشاری در این حالت، ساده‌تر باشد. ابتدا ۲۴٫۶ را به صورت ۲۴ + ۰٫۶ می‌نویسیم، سپس تقسیم هر بخش را بر ۱۲ بدست می‌آوریم.

( ۲۴ + ۰٫۶ ) ÷ ۱۲ = ۲۴ ÷ ۱۲ + ۰٫۶ ÷ ۱۲ =

۲ + ۰٫۰۵ = ۲٫۰۵

مشخص است که برای تقسیم ۰٫۶ بر ۱۲ به همان روش قبلی عمل کرده‌ایم.

نکته: توجه داشته باشید که در تقسیم اعداد اعشاری بر عدد طبیعی یا صحیح، تعداد رقم‌های اعشار مقسوم، خارج قسمت و باقی‌مانده برابرند.

فرادرس برای دانش‌آموزان و حتی دانشجویان یک فیلم آموزشی به منظور انجام محاسبات سریع و ذهنی منتشر کرده است که بخصوص برای انجام چهار عمل اصلی، بسیار مناسب است. 

تقسیم عدد صحیح بر اعداد اعشاری

در این بخش از متن، حالت عکس بخش قبلی را برای تقسیم اعداد اعشاری مرور می‌کنیم. یعنی مقسوم علیه یک عدد اعشاری است ولی مقسوم، عدد صحیح است. قرار است تقسیم را برای این وضعیت با توجه به باقی‌مانده نیز مرور کنیم.

مثال 4: حاصل تقسیم ۲0 بر ۰٫۵ چیست؟

راه حل: یک شیوه جالب برای انجام این کار، رسم محور اعداد و تقسیم کردن واحد روی آن است. می‌دانید که منظور از عدد ۲0، مقداری است که از صفر به اندازه ۲0 واحد فاصله دارد.

در اینجا هم منظور از تقسیم ۲0 بر ۰٫۵، پیدا کردن تعدادی از اندازه‌های نیم واحدی (۰٫۵) است که ما را به ۲0 می‌رساند. با توجه به شکل زیر، تعداد 40 نیم واحد ما را به عدد ۲۰ خواهد رساند. پس تقسیم ۲۰ بر ۰٫۵ برابر با ۴۰ خواهد بود.

مثال 5: حاصل تقسیم ۲0 بر ۰٫۱ چقدر است؟

راه حل: همانطور که در مثال قبل دیدیم، باید هر واحد را به ۱۰ واحد تبدیل کنیم تا هر قسمت نشانگر ۰٫۱ باشد. پس اگر هر واحد را ۰٫۱ کنیم، فاصله ۲۰ تا صفر، ۱۰ برابر خواهد شد. به این ترتیب خواهیم فهمید که تقسیم ۲۰ بر ۰٫۱ برابر با ۲۰۰ خواهد بود.

۲۰ ÷ ۰٫۱ = ۲۰۰

می‌توان حاصل عمل تقسیم را به کمک ضرب هم امتحان کرد. کافی است خارج قسمت را در مقسوم علیه ضرب کرده و با باقی‌مانده جمع کنید. در مثال ما، ۰٫۱ مقسوم علیه و ۲۰۰ خارج قسمت بود. همچنین باقی‌مانده نیز صفر بدست آمد. پس به صورت زیر تقسیم را امتحان می‌کنیم.

۲۰۰ × ۰٫۱ + ۰= ۲۰

مثال 6: این بار عدد صحیح ۲5 را به ۰٫۸ تقسیم کنید.

راه حل: می‌دانیم این بار باید هر واحد را به اندازه ۰٫۸ در نظر بگیریم و از محور اعداد استفاده کنیم. ولی شاید راه ساده‌تر، استفاده از ضرب اعشاری باشد. می‌دانیم که ۱۰ در ۰٫۸ برابر با ۸ است. از طرفی ۲۰ در ۰٫۸ هم ۱۶ خواهد بود. به همین ترتیب عدد صحیح را افزایش می‌دهیم تا به مضربی از ۰٫۸ برسیم که نزدیک‌ترین مقدار به 25 بوده و از آن هم کوچکتر باشد. حتما به یاد دارید که باقی‌مانده تقسیم باید مثبت یا صفر باشد. به همین علت از بین مقادیر مضرب ۰٫۸ نزدیک‌ترین را انتخاب کرده‌ایم که از 25 کوچکتر باشد. مشخص است که ۳۱ مضربی است که حاصل ضرب آن در ۰٫۸ برابر با 24٫۸ است.

از همین جا خارج قسمت ۲۴٫۸ بدست آمده و باقی‌مانده هم برابر با ۰٫۲ خواهد بود زیرا فاصله بین این حاصل‌ضرب تا ۲۵ برابر با ۰٫۲ است.

همانطور که دیدید، در این مثال به کمک رابطه ضرب بین اعداد اعشاری، تقسیم را انجام دادیم.

نکته: اگر در یک تقسیم، مقسوم و مقسوم علیه را در عددی غیر صفر ضرب کنیم، خارج قسمت تغییری نمی‌کند ولی باقی مانده هم در همان عدد ضرب می‌شود.

در قسمت‌های بعدی، حالتی از تقسیم اعداد اعشاری را معرفی می‌کنیم که به کمک آن، می‌توانید هر دو حالت قبلی را هم اجرا کنید. توجه دارید که باید نتیجه بدست آمده از روش‌های بعدی با روش‌های قبلی یکسان باشد. تفاوت فقط در شیوه انجام تقسیم یا طولانی بودن محاسبات است. استفاده از روش‌های بعدی، ساده‌تر و سریع‌تر بوده ولی در آن‌ها از مفاهیم ضرب کردن که در قبل در باره تقسیم اعداد اعشاری اشاره کردیم، استفاده شده است. به همین دلیل بهتر است هر دو مسیر را بدانید.







دی ان ان