مفهوم مجموعه در ریاضی

همانطور که در سالیان قبل یاد گرفتید  مجموعه جزء مفاهیم تعریف نشده می‌باشد. اما مفهوم مجموعه در ریاضی عبارت است از

دسته‌ای از اشیاء یا اعداد که دارای خاصیت مشترک می‌باشند.

وقتی از مجموعه صحبت می‌کنیم باید اعضای مجموعه مشخص باشد. مثلاً وقتی می‌گوییم جمعیت کشور ایران، دقیقاً مشخص است که در مورد چه کسانی صحبت می‌کنیم. ولی وقتی گفته می‌شود نام 3 گل زیبا، نام سه تن از شعرای معروف، و یا جمعیت افراد خوشتیب در ایران، اعضای این مجموعه‌ها مشخص نیستند. چون خوشتیپ بودن یا معروف بودن عوامل نسبی هستند .                                                                                               

چند مثال برای فهم بهتر

اجازه بدهید بیشتر باهم بررسی کنیم. معیار زیبایی یک معیار کاملاً مشخص نیست. این مثال زیر را در نظر بگیرید: 3 عدد طبیعی زوج متوالی.  اعضای این مجموعه مشخص نیستند. ولی وقتی می‌گوییم اعداد زوج طبیعی کوچکتر از 10، کاملاً اعضای این مجموعه مشخص است.

در مجموعه تکرار یا ترتیب مهم نیست. مثلاً اگر در لیست  اسامی دانش آموزان کلاس ۳۱ نفری نام شخصی دوبار نوشته شده باشد، آن کلاس بازهم 31 نفر عضو دارد. همچنین نوشتن نام اعضای این کلاس با هر ترتیبی مهم نیست. پس وقتی در مجموعه صحبت می‌کنیم دو نکته زیر را حتماً باید در نظر گرفت:

باید اعضای مجموعه کاملاً مشخص و معلوم باشند.

تکرار و ترتیب در آنها مهم نیست. البته لازم به ذکر است که معمولاً سعی می‌کنیم اعضای مجموعه را با ترتیب خاص بنویسیم. اما اگر ترتیب به هم بخورد مجموعهٔ جدیدی پدید نمی‌آید.       

زیر مجموعه

یکی دیگر از نکاتی که در بحث مفهوم مجموعه در زیاضی می آموزیم بحث زیر مجموعه است. مجموعه A و B را در نظر بگیرید. اگر هر عضوی که در B هست در A هم موجود باشد، یا به عبارتی B جزئی از A باشد، می‌گوییم مجموعه B زیر مجموعهٔ A است و می‌نویسیم:

تساوی دو مجموعه

یکبار دیگر دو مجموعه‌ٔ A و B را در نظر بگیرید. اگر:

و

باشند، این بدان معنی است که:

مثال ۱:

مجموعه‌های مهم در ریاضی

مجموعه اعداد طبیعی

مجموعه اعداد حسابی

مجموعه اعداد صحیح

مجموعه اعداد گویا

مجموعه اعداد گنگ: مجموعه اعدادی که نتوان آن ها را به صورت نسبت دو عدد صحیح نمایش داد.
‌

مجموعه اعداد حقیقی

در حقیقت مفهوم مجموعه در ریاضی می‌گوید که تمام مجموعهٔ اعدادی که تاکنون خوانده‌ایم، زیر مجموعه اعداد حقیقی هستند.

بازه ها

برای نمایش زیر مجموعه‌ های اعداد حقیقی در سال‌های قبل 3 روش آموخته بودید.

روش توصیفی

مثال مجموعه اعداد حقیقی بزرگتر از 3

زبان ریاضی یا نمایش مجموعه

روش توصیفی

اما برای زیر مجموعه های اعداد حقیقی روش دیگری هست به نام نمایش بازه ای. بازه ها 3 نوع هستند:

باز

بسته

نیمه باز

که به صورت های زیر نمایش داده می‌شوند:

بازه باز

بازه نیم‌باز

بازه نیم‌باز

بازه بسته

نکته ۱: اگر زیر مجموعه اعداد حقیقی بزرگتر از یک عدد باشد، به سمت مثبت بی‌‌نهایت می‌روند. در ریاضیات نماد زیر نماد مثبت بی نهایت است.

+∞

همچنین نماد زیر در ریاضیات نماد منفی بی نهایت است.

−∞

طبق نکته ۱ می‌توانیم بنویسیم:

نکته ۲: همیشه در بازه ها سمت چپ عدد کوچکتر و سمت راست عدد بزرگتر نوشته می‌شود.

نکته ۳: همیشه کنار نماد +∞ و −∞ از پرانتز که نماد باز بودن است استفاده می‌شود.

توجه : توجه داشته باشید که فقط زیر مجموعه های اعداد حقیقی را می‌توان به صورت بازه نوشت و زیرمجموعه‌ بقیه مجموعه ها را به روش قبلی فقط می‌توان نمایش داد.

اَعمال روی بازه ها

شما در سال‌های قبل با اشتراک، اجتماع و تفاضل مجموعه ها آشنا شدید. این اَعمال را روی بازه ها نیز می‌توان اعمال کرد.

چند مثال ۲:

دقت کنید اگر نمی‌توانید این اعمال را به صورت ذهنی انجام دهید، می‌توانید با استفاده از محور به آسانی این کار انجام دهید. مثلاً:

مجموعه متناهی و نامتناهی

در بحث مفهوم مجموعه در ریاضی پی‌می‌بریم که مجموعه متناهی مجموعه ای است که تعداد اعضای آن یک عدد حسابی باشد.

مثال ۳: مجموعه اعداد اول یک رقمی یک مجموعه متناهی است.

سوال مهم: ممکن است تعداد اعضای یک مجموعه متناهی بسیار زیاد باشند و به نظر برسد که نتوان آنها را شمرد. آیا باز این مجموعه را می توان یک مجموعه متناهی محسوب کرد؟

جواب: پاسخ به این سوال مثبت است. چون با داشتن امکانات و صرف وقت کافی ممکن است بتوان تعداد آن‌ها را به دست آورد. یا به عبارت دیگر تعداد آن‌ها به شرطی که توانایی شمردنشان را داشته باشیم، بالاخره به پایان می‌رسد.

مثل تعداد مورچگان کره زمین. تعداد آن‌ها خیلی زیاد است اما قابل شمارش هستند. و یا تعداد درخت‌های جنگل‌های آمازون. و یا تعداد اتم‌های یک جسم. همه مثال‌هایی از این نوع هستند.

مجموعه‌ای که نتوان تعداد اعضای آن را با یک عدد حسابی بیان کرد، مجموعه نامتناهی است.

مثال ۴: A=(0,1) . تعداد اعضای این بازه قابل شمارش نیستند. چون بین هر دو عدد حقیقی بی نهایت عدد حقیقی دیگر وجود دارد.

مثال ۵: اعداد گویا بین 3 تا 2- را در نظر بگیرید. دوباره این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است. چون بین هر دو عدد گویا بی نهایت عدد گویا دیگر می توان نوشت.

در مورد مفهوم مجموعه در ریاضی بیشتر بدانیم

مثال ۶: بین دو عدد 12 و 13 سه عدد گویا بنویسید.

برای اینکار کافی است صورت و مخرج کسرها را با هم جمع کنیم. کسر 25 از 13 بزرگتر و از 12 کوچکتر است.

بین 13 و 25 نیز می‌توان کسرهای دیگری را مانند 38 نوشت.در نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که بین این دو کسر، بی نهایت عدد گویا دیگر نیز وجود دارند.